题目内容

精英家教网如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若
AD
=x
AB
+y
AC
，则x=
 
，y=
 
．
分析：设|
AB
|=1，求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用2个向量的数量积公式，待定系数法求出x、y的值．
解答：解∵
AD
=x
AB
+y
AC
，又
AD
=
AB
+
BD
，∴
AB
+
BD
=x
AB
+y
AC
，
∴
BD
=(x-1)
AB
+y
AC
．
又∵
AC
⊥
AB
，∴
BD
•
AB
=(x-1)
AB
2．
设|
AB
|=1，则由题意知：|
DE
|=|
BC
|=
2
．
又∵∠BED=60°，∴|
BD
|=
6
2
，显然
BD
与
AB
的夹角为45°．
∴由
BD
•
AB
=(x-1)
AB
2 得
6
2
×1×cos45°=（x-1）×1，∴x=
3
2
+1． 
同理，在
BD
=(x-1)
AB
+y
AC
中，两边同时乘以
AC
，
由数量积公式可得：y=
3
2
，故答案为：1+
3
2
，
3
2
．
点评：本题考查2个向量的混合运算，两个向量的数量积定义式、公式的应用，待定系数法求参数值，体现了数形结合的数学
思想，属于中档题．
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