题目内容
已知a＞0，命题p：?x＞0，x+
≥2恒成立；命题q：?k∈R，直线kx-y+2=0与椭圆x2+
=1恒有公共点．问：是否存在正实数a，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题？若存在，请求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
| a |
| x |
| y2 |
| a2 |
分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．
解答：解：∵命题p：?x＞0，x+
≥2恒成立
∴要x+
≥2恒成立，应有2√a≥2
∴a的取值范围：a≥1
又∵命题q：?k∈R，直线kx-y+2=0与椭圆x2+
=1恒有公共点
∵对任意k，直线kx-y+2=0恒过定点（0，2）
∴要使直线kx-y+2=0与椭圆x2+
=1有公共点，（0，2）在椭圆内部
∴应有，
+02≤1，
∴a的取值范围：a≥2
∵若p∨q为真命题，p∧q为假命题
∴p、q一真一假，
①p真q假，那么a的取值范围：
②p假q真，那么a的取值范围：
，
解得出a的取值范围：1≤a＜2
综上，存在1≤a＜2，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题
| a |
| x |
∴要x+
| a |
| x |
∴a的取值范围：a≥1
又∵命题q：?k∈R，直线kx-y+2=0与椭圆x2+
| y2 |
| a2 |
∵对任意k，直线kx-y+2=0恒过定点（0，2）
∴要使直线kx-y+2=0与椭圆x2+
| y2 |
| a2 |
∴应有，
| 22 |
| a2 |
∴a的取值范围：a≥2
∵若p∨q为真命题，p∧q为假命题
∴p、q一真一假，
①p真q假，那么a的取值范围：
|
②p假q真，那么a的取值范围：
|
解得出a的取值范围：1≤a＜2
综上，存在1≤a＜2，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题
点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目
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