Question

阅读下列材料，然后解答问题；对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整
数”，在数轴上，当x是整数，[x]是x，当x不是整数时，[x]是x左侧的第一个整数，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数，如[-2]=-2、[-1.5]=-2、[2.5]=2  定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个命题；
①函数[x]的定义域是R，值域为[0，1]；
②方程{x}=

1

2

有无数个解；
③函数{x}是周期函数；
④函数{x}是增函数．
其中正确命题的序号是

 

（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：通过举反例，可得①④不正确，通过x=1.5，2.5，3.5，4.5，…时，函数{x}的值都是

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2

，说明②③正确．

解答：解：①不正确，如x=8.8时，[x]=8，显然函数的值域不是[0，1]．
②正确，由于函数{x}=x-[x]的值域是[0，1），
当x=1.5，2.5，3.5，4.5，…时，都是此方程{x}=

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2

的解．
由②知，函数{x}是周期函数，故③正确．
④不正确，如x=1.5，2.5，3.5，4.5，…时，函数{x}的值都是

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2

，故不是增函数．
综上，②③正确，
故答案为 ②③．

点评：本题考查新定义函数 {x}=x-[x]的意义，通过举反例来说明某个命题的正确性，是一种简单有效的方法．