Question

袋中的若干个黑球，3个白球，2个红球（大小相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为

1

6

，用ξ表示得分，求：
（1）袋中黑球的个数；
（2）ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据得0分的概率为

1

6

，设出黑球的个数，列出概率的表示式，得到关于n的一元二次方程，解方程即可．
（2）由题意知ξ表示得分，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件，根据等可能事件的概率公式得到变量的概率，写出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
根据得0分的概率为

1

6

，
设袋中黑球的个数为n，则p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

化简得n²-3n-4=0，解得n=4或n=-1（舍去），
∴有4个黑球
（2）由题意知ξ表示得分，ξ的可能取值是0，1，2，3，4
根据等可能事件的概率公式得到
p(ξ=0)=

1

6

，p(ξ=1)=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，p(ξ=2)=

C 2 3 + C 1 2 • C 1 4

C 2 9

=

11

36

p(ξ=3)=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，p(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

∴ξ的分布列为

∴Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题，是一个综合题目，这种题目可以作为大型考试中的解答题目出现．