题目内容
(2012•烟台二模)设椭圆E:
+
=1(a>b>0)的上焦点是F1,过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A、B两点,已知A(
,
).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点,求C点的坐标.
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
1 |
3 |
4 |
3 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点,求C点的坐标.
分析:(1)由A(
,
)和P(3,4)能求出直线PF1的方程为:y=x+1,令x=0,得椭圆E的焦点为F1(0,1)、F2(0,-1),由椭圆的定义能求出椭圆E的方程.
(2)设与直线PF1平行的直线l:y=x+m,由
,得3x2+2mx+m2-2=0,再由根的判别式结合题设条件,能求出C点的坐标..
1 |
3 |
4 |
3 |
(2)设与直线PF1平行的直线l:y=x+m,由
|
解答:解:(1)由A(
,
)和P(3,4)得直线PF1的方程为:y=x+1…(1分)
令x=0,得y=1,即c=1 …(2分)
椭圆E的焦点为F1(0,1)、F2(0,-1),
由椭圆的定义可知2a=|AF1|+|AF2|=
+
=2
…(4分)
∴a=
,b=1…(5分)
椭圆E的方程为
+x2=1…(6分)
(2)设与直线PF1平行的直线l:y=x+m…(7分),
由
,消去y得3x2+2mx+m2-2=0…(8分)
△=(2m)2-4×3×(m2-2)=0,
即m2=3,m=±
…(9分)
要使点C到直线PF1的距离最远,
则直线L要在直线PF1的下方,所以m=-
…(10分)
此时直线l与椭圆E的切点坐标为(
,-
),
故C(
,-
)为所求. …(12分)
1 |
3 |
4 |
3 |
令x=0,得y=1,即c=1 …(2分)
椭圆E的焦点为F1(0,1)、F2(0,-1),
由椭圆的定义可知2a=|AF1|+|AF2|=
(
|
(
|
2 |
∴a=
2 |
椭圆E的方程为
y2 |
2 |
(2)设与直线PF1平行的直线l:y=x+m…(7分),
由
|
△=(2m)2-4×3×(m2-2)=0,
即m2=3,m=±
3 |
要使点C到直线PF1的距离最远,
则直线L要在直线PF1的下方,所以m=-
3 |
此时直线l与椭圆E的切点坐标为(
| ||
3 |
2
| ||
3 |
故C(
| ||
3 |
2
| ||
3 |
点评:本题考查椭圆方程的求法和求点的坐标,具体涉及到椭圆的定义、直线方程的求法、椭圆的简单性质、根的判别式、直线与椭圆的位置关系等基本知识,解题时要认真审题,仔细解答.

练习册系列答案
相关题目