Question

已知x满足9^x-10×3^x+9≤0，则函数y=（

1

4

）^x-1-4（

1

2

）^x+2的单调增区间为（　　）

Answer 1

分析：根据不等式确定x的范围，再利用换元法转化为二次函数，确定函数的单调区间，进而可得结论．

解答：解：设t=3^x，则t＞0，
∴不等式9^x-10•3^x+9≤0可转化为t²-10t+9≤0
即（t-1）（t-9）≤0，∴1≤t≤9
即1≤3^x≤9，∴0≤x≤2
令m=（

1

2

）^x，由（1）知，0≤x≤2，∴m∈[

1

4

，1]
∴函数可化为f（m）=4m²-4m+2=4（m-

1

2

）²+1，m∈[

1

4

，1]
∴m∈[

1

4

，

1

2

]时，函数f（m）单调递减，m∈[

1

2

，1]时，函数f（m）单调递增
∵m=（

1

2

）^x为R上的单调减函数
∴m∈[

1

4

，

1

2

]，即x∈（1，2）时，函数单调增
∴函数y=（

1

4

）^x-1-4（

1

2

）^x+2的单调增区间为（1，2）
故选C．

点评：本题考查解不等式，考查复合函数的单调性，确定二次函数的单调性是关键，属于中档题．