题目内容
已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:
①对任意m∈Z,有f(2
m)=0;
②函数f(x)的值域为[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(2
n+1)=9;
④“若k∈Z,若(a,b)⊆(2
k,2
k+1)”,则“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”
其中所有正确结论的序号是
①②④
①②④
.
分析:依据题中条件注意研究每个选项的正确性,连续利用题中第(1)个条件得到①正确;利用反证法及2x变化如下:2,4,8,16,32,判断②命题错误;连续利用题中第③个条件得到③正确;据①③的正确性可得④是正确的.
解答:解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2-x.∴f(2)=0.f(1)=
f(2)=0.
∵f(2x)=2f(x),∴f(2
kx)=2
kf(x).
①f(2
m)=f(2•2
m-1)=2f(2
m-1)=…=2
m-1f(2)=0,∴①正确.
②设x∈(2,4]时,则
x∈(1,2],∴f(x)=2f(
)=4-x≥0.
若x∈(4,8]时,则
x∈(2,4],∴f(x)=2f(
)=8-x≥0.
…
一般地当x∈(2
m,2
m+1),
则
∈(1,2],f(x)=2
m+1-x≥0,
从而f(x)∈[0,+∞),∴②正确
③由②知当x∈(2
m,2
m+1),f(x)=2
m+1-x≥0,
∴f(2
n+1)=2
n+1-2
n-1=2
n-1,假设存在n使f(2
n+1)=9,
即2
n-1=9,∴2
n=10,
∵n∈Z,∴2
n=10不成立,∴③错误;
④由②知当x⊆(2
k,2
k+1)时,f(x)=2
k+1-x单调递减,为减函数,
∴若(a,b)⊆(2
k,2
k+1)”,则“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”.
∴④正确.
故答案为:①②④.
点评:本题主要考查抽象函数的性质,考查了函数的单调性,以及学生的综合分析能力.
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