题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，定义 $数学公式$
（1）求出的解析式．当时，它可以表示一个振动量，请指出其振幅，相位及初相．
（2）f（x）的图象可由y=sinx的图象怎样变化得到？
（3）设 $数学公式$ 时f（x）的反函数为f^-1（x），求 $数学公式$ 的值．

解：（1） $\text{[math]}$ =（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）
=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1
=sinx+cosx
= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）．
其振幅为 $\text{[math]}$ ，相位为x+ $\text{[math]}$ ，初相为 $\text{[math]}$ ，
（2）可由y=sinx图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 $\text{[math]}$ 倍，
再把曲线上的所有点向左平移 $\text{[math]}$ 单位，
就得到y= $\text{[math]}$ 的图象．
（3）不妨设f^-1（ $\text{[math]}$ ）=t，t∈[ $\text{[math]}$ ]，
则f（t）= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
即f^-1（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过向量的数量积、二倍角公式两角和的正弦函数、化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求出其振幅，相位及初相．
（2）利用左加右减的原则，通过左右平移，伸缩变换即可由y=sinx的图象得到f（x）的图象；
（3）求出f（x）的反函数为f^-1（x）的表达式，即可通过 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，转化思想．