Question

古汉集团生产的A，B两种型号的口服液供出口，国家为鼓励产品出口，采用出口退税政策：出口价值为a万元的/1产品可获得

1

10

a万元的退税款，出口价值为b万元的B产品可获得mln（b+1）（m＞0）万元的退税款．已知厂家出口总价值为100万元的A、B两种口服液，且两种口服液的出口价值都不低于10万元．
（1）当m=

8

5

时，请你制定一个方案，使得在这次出口贸易中该企业获得的退税款最多，并求出其最大值；
（精确到0.1，参考数据：l_n2≈0.7）
（2）记该企业获得的退税款的最大值函数为，f（m），求f（m）的表达式．

Answer 1

分析：（1）先设出口B产品价值x万元，该企业获得的退税款为y万元．可得y=mln（x+1）+

1

10

（100-x）  10≤x≤100，，把m=

8

5

代入求出其导函数，研究出其在定义域上的单调性即可求出其最大值；
（2）先求出导数为0的根x=10m-1，再把x=10m-1与区间的位置关系分三种情况讨论，分别得到其在定义域上的单调性进而求出其最大值．

解答：解：（1）设出口B产品价值x万元，则出口A产品价值为（100-x）万元，设该企业获得的退税款为y万元．
则y=mln（x+1）+

1

10

（100-x）  10≤x≤100，
当m=

8

5

时，y=

8

5

ln（x+1）+

1

10

（100-x）
由y'=

8

5(x+1)

-

1

10

得x=15
易知：当x∈（10，15）时函数递增，
当x∈（15，90）时，函数递减．
故当x=15时，y_max=

8

5

ln16+

1

10

×85≈13.0
（2）由y=mln（x+1）+

1

10

（100-x）
得y'=

m

x+1

-

1

10

令y′=0得x=10m-1，
①当0＜10m-1＜10时，即0.1＜m＜1.1
此时函数在（10，90）上单调递减，故f（m）=f（10）=9+mln11．
当10≤10m-1≤90时，即1.1≤m≤9.1
此时，函数在（10，10m-1）上递增，在（10m-1，90）上递减．
故f（m）=f（10m-1）=mln10m-m+10.1
当10m-1＞90时，即m＞9.1，
此时函数在（10，90）上递增，
故f（m）=f（90）=mln91+1
综上f（m）=

mln11+9    0＜m＜1.1 mln10m-m+10.1   1≤m≤9.1 mln91+1     m＞9.1

．

点评：本题主要考查函数在日常生活中的应用以及分段函数的应用．做函数应用题的关键是，把文字语言转化为数学语言，用数学知识来解题．