Question

已知函数的定义域为集合A，y=-x²+a²+2a的值域为集合B．
（1）若a=2，求A∩B；
（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：函数的定义域A={x|x＞3}，
y=-x²+a²+2a的值域为B={x|x≤a²+2a}
（1）当a=2时，B={x|x≤8}
此时A∩B={x|3＜x≤8}
（2）要使A∪B=R，需要a²+2a≥3，
解得a≤-3，或a≥1
故使A∪B=R的实数a的取值范围为a≤-3，或a≥1
分析：根据函数解析式有意义的原则可以求出集合A，根据实数的性质可以求出集合B
（1）将a=2代入集合B，结合集合交集运算法则可得答案．
（2）根据A∪B=R，可构造关于a的不等式组a²+2a≥3，解不等式可得实数a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是函数的定义域，函数的值域，集合的交集、并集运算，其中求出集合A，B是解答的关键．