Question

已知tanα是方程x²+x-6=0的一个根，且α是第三象限角．
（Ⅰ）求式子

sinαcosα

2sin2α-cos2α

的值；
（Ⅱ）求cos(α+

π

3

)，sin(

π

6

-α)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出方程的两个根，通过角的范围，判断正切的值，化简式子

sinαcosα

2sin2α-cos2α

为角的正切关系式，然后求出表达式的值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ），同角三角函数的基本关系式，求出sinα，cosα，利用两角和与差的三角函数展开cos(α+

π

3

)，sin(

π

6

-α)即可求出它们的值．

解答：解：（Ⅰ）x²+x-6=0的解为x₁=-3或x₂=2，因为α是第三象限角，
所以tanα＞0，所以tanα=2           …（2分）
所以

sinαcosα

2sin2α-cos2α

=

tanα

2tan2α-1

=

2

7

     …（4分）
（Ⅱ）由已知：

sinα cosα =2 sin2α+cos2α=1

⇒

sinα= 2 5 5 cosα= 5 5

或

sinα=- 2 5 5 cosα=- 5 5

…（6分）
因为α是第三象限角，所以sinα＜0且cosα＜0，sinα=-

2 5

5

，cosα=-

5

5

…（7分）
cos(α+

π

3

)=cosαcos

π

3

-sinαsin

π

3

=

2 15 - 5

10

         …（10分）
因为(α+

π

3

)+(

π

6

-α)=

π

2

∴sin(

π

6

-α)=sin[

π

2

-(α+

π

3

)]=cos(α+

π

3

)=

2 15 - 5

10

…（12分）

点评：本题考查角的三角函数的值的求法，三角函数的化简，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．