题目内容

（2013•镇江二模）如图，在△ABC中，B=
π
4
，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD=α，sinα=
5
5
．
（1）求sin∠BAC和sinC；
（2）若
BA
•
BC
=28，求AC的长．
分析：（1）利用三角函数平方关系、倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式即可得出；
（2）利用正弦定理、向量的数量积即可得出．
解答：解：（1）∵α∈(0，
π
2
)，sinα=
5
5
=
1
5
，
∴cosα=
1-sin2α
=
2
5
．
则sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×
1
5
×
2
5
=
4
5
．
∴cos∠BAC=cos2α=2cos2α-1=2×
4
5
-1=
3
5
．
sinC=sin[π-(
π
4
+2α)]=sin(
π
4
+2α)
=
2
2
sin2α+
2
2
cos2α=
2
2
×
4
5
+
2
2
×
3
5
=
7
2
10
．
（2）由正弦定理得
AB
sinC
=
BC
sin∠BAC
，∴
AB
7
2
10
=
BC
4
5
，∴AB=
7
2
8
BC，
∵
BA
•
BC
=28，∴AB•BC•
2
2
=28．
由上两式解得BC=4
2
．
又由
AC
sinB
=
BC
sin∠BAC
，得
AC
2
2
=
BC
4
5
，解得AC=5．
点评：本题综合考查了三角函数平方关系、倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理、向量的数量积等知识与方法．需要较强的推理能力和计算能力．
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四
四
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{x|-1≤x≤1}
{x|-1≤x≤1}
．

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