Question

已知直线C₁

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），C₂

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），
（Ⅰ）当α=

π

3

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

Answer 1

分析：（I）先消去参数将曲线C₁与C₂的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．

解答：解：（Ⅰ）当α=

π

3

时，C₁的普通方程为y=

3

(x-1)，C₂的普通方程为x²+y²=1．
联立方程组

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁与C₂的交点为（1，0）(

1

2

，-

3

2

)．
（Ⅱ）C₁的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0①．
则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，
联立①②可得x=sin²α，y=-cosαsinα；
A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：

x= 1 2 sin2α y=- 1 2 sinαcosα

(α为参数)，
P点轨迹的普通方程(x-

1

4

)2+y2=

1

16

．
故P点轨迹是圆心为(

1

4

，0)，半径为

1

4

的圆．

点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．