Question

在二项式（1+3x）ⁿ和（2x+5）ⁿ的展开式中，各项系数之和分别记为a_n、b_n、n是正整数，则

lim

n→∞

an-2bn

3an-4bn

=

 

．

Answer 1

分析：先求出各项系数之和a_n、b_n，代入所求极限表达式，再由极限运算法则可求．

解答：解：由题可知：二项式（1+3x）ⁿ和（2x+5）ⁿ的展开式中，分别令x=1即可得a_n=4ⁿ、b_n=7ⁿ，
将a_n=4ⁿ、b_n=7ⁿ，代入

lim

n→∞

an-2bn

3an-4bn

=

lim

n→∞

4n-2×7n

3×4n- 4×7n

=

lim

n→∞

( 4 7 )n- 2

3×( 4 7 )n-4

=

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：本题有两点注意：
（1）用特殊值求二项式展开式各项系数和，高考中常在填空中出现．
（2）分式极限求解法则要熟练掌握．