Question

一工厂有50名工人，要完成150套产品的生产任务，每套产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作，一组加工A型零件，另一组加工B型零件；设加工A型零件的工人人数为x名（x∈N⁺），完成A型零件加工所需时间为f（x），完成B型零件加工所需时间为g（x）．
（1）求f（x）和g（x）的解析式并注明定义域；
（2）设h（x）是完成全部150套生产任务所需时间，列出h（x）的解析式；并求完成全部150套生产任务的最短时间及相应的x值．

Answer 1

（1）生产150套产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f(x)=

450

5x

=

90

x

（x∈N^*，1≤x≤49）；生产150套产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

（x∈N^*，1≤x≤49）；
（2）设完成全部生产任务所需时间为h（x）小时，则h（x）为f（x）与g（x）的较大者．令f（x）≥g（x），则

90

x

≥

50

50-x

，解得1≤x≤32

1

7

，所以当1≤x≤32时，f（x）＞g（x），当33≤x≤49时，f（x）＜g（x），
∴h(x)=

90 x ，1≤x≤32 50 50-x ，32≤x≤49

，其中x∈N^*．
当1≤x≤32时，h（x）在[1，32]上单调递减，则h（x）在[1，32]上的最小值为h（32）=

45

16

（小时）；
当33≤x≤49时，h（x）在[33，49]上单调递增，则h（x）在[33，49]上的最小值为h（33）=

50

17

（小时），
∵h（33）＞h（32），
∴h（x）在[1，49]上的最小值为h（32），所以x=32，故为了在最短时间内完成全部任务，x应取32．