Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3tx+18，x≤3}\\{（t-13）\sqrt{x-3}，x＞3}\end{array}\right.$，记a_n=f（n）（n∈N^*），若数列{a_n}满足a_n＞a_n+1，则实数t的取值范围是（$\frac{5}{3}$，4）．

Answer 1

分析 要使函数f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）时单调递减，则$\frac{3}{2}$t＞$\frac{5}{2}$；要使函数f（x）=（t-13）$\sqrt{x-3}$在x＞3单调递减，则必须满足t-13＜0；又函数f（x）在x∈N^*时单调递减，则f（3）＞f（4）．联立解不等式即可t的范围．

解答 解：要使函数f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）时单调递减，
由a1＞a2＞a3，可得1-3t+18＞4-6t+18＞9-9t+18，
解得t＞$\frac{5}{3}$；
要使函数f（x）=（t-13）$\sqrt{x-3}$在x＞3单调递减，
则必须满足t-13＜0，解得t＜13．
又函数f（x）在x∈N^*时单调递减，
则f（3）=27-9t＞f（4）=（t-13）•$\sqrt{4-3}$，
解得t＜4．
故t的取值范围是（$\frac{5}{3}$，4）．
故答案为：（$\frac{5}{3}$，4）．

点评 本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于中档题．