Question

平面内有四个点O、A、B、C，记

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，向量

a

、

b

、

c

 满足

a

+

b

+λ

c

=0，其中λ为实数．
（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；
（2）当λ=1时，且

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=-1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用向量的中点坐标公式即可求出；
（2）利用已知条件和向量的运算先证明

a

，

b

，

c

的模相等，再利用三角形的全等即可得到三角形的形状．

解答：解：（1）∵点C是线段AB的中点，∴

OC

=

1

2

(

OA

+

OB

)，∴

a

+

b

-2

c

=

0

，又

a

+

b

+λ

c

=

0

，∴λ=-2．
（2）当λ=1时，则

a

+

b

+

c

=

0

，∴

b

=-(

a

+

c

)．
∵

a

•

b

=

b

•

c

，∴

b

•(

a

-

c

)=0，∴-(

a

+

c

)•(

a

-

c

)=0，∴

a

2=

c

2，∴|

a

|=|

c

|．
同理|

b

|=|

c

|．
由

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=-1得＜

a

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=＜

c

，

a

＞，
∴△OAB≌△OBC≌OCA，∴AB=BC=CA．
∴△ABC是等边三角形．

点评：熟练掌握向量的中点坐标公式、向量的线性运算性质及其模的计算公式、三角形全等的判定是解题的关键．