题目内容
已知动点P到定直线l：x=2
的距离与点P到定点F(
，0)之比为
．
（1）求动点P的轨迹c的方程；
（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1•k2是否为定值？
（3）若点M为圆O：x2+y2=4上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？
| 2 |
| 2 |
| 2 |
（1）求动点P的轨迹c的方程；
（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1•k2是否为定值？
（3）若点M为圆O：x2+y2=4上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？
（1）设点P（x，y），依题意，有
=
．
整理，得
+
=1．
所以动点P的轨迹C的方程为
+
=1．
（2）由题意：设N（x1，y1），A（x2，y2），
则B（-x2，-y2）
+
=1，
+
=1
k1•k2=
•
=
=
=-
为定值．
（3）M（x0，y0），则切线MQ的方程为：xx0+yy0=4
由
得Q(2
，
)
=(x0-
，y0)，
=(2
，
)
•
=2
x0-4+y0
=0
所以：
⊥
即MF与OQ始终保持垂直关系
| ||||
|x-2
|
| ||
| 2 |
整理，得
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
所以动点P的轨迹C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（2）由题意：设N（x1，y1），A（x2，y2），
则B（-x2，-y2）
| x12 |
| 4 |
| y12 |
| 2 |
| x22 |
| 4 |
| y22 |
| 2 |
k1•k2=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| y1+y2 |
| x1+x2 |
| y12-y22 |
| x12-x22 |
=
2-
| ||||
| x12-x22 |
| 1 |
| 2 |
（3）M（x0，y0），则切线MQ的方程为：xx0+yy0=4
由
|
| 2 |
4-2
| ||
| y0 |
| FM |
| 2 |
| OQ |
| 2 |
4-2
| ||
| y0 |
| FM |
| OQ |
=2
| 2 |
4-2
| ||
| y0 |
所以：
| FM |
| OQ |
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