Question

如图，在中，已知AB=2，BC=1，在AB、AD、CB、CD上，分别截取AE=AH=CF=CG=x（x＞0），设四边形EFGH的面积为y．
（1）写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式；
（2）求当x为何值时y取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．
（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．

解答：解：（1）因为△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
所以y=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△EFB，
=2×1-2×

1

2

x2-2×

1

2

(2-x)(1-x)，
=-2x²+3x（0＜x≤1）．
（2）y=-2x2+3x=-2(x-

3

4

)2+

9

8

，所以当x=

3

4

时，ymax=

9

8

．

点评：本题考查将实际问题转化为二次函数模型、通过配方求函数的对称轴；
二次函数的最值由对称轴与定义域的关系决定．