题目内容
已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1．（Ⅰ） 求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ） 若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥BC；
（Ⅲ） 求二面角C-PA-D的余弦值．
分析：（Ⅰ）证明BC∥AD，利用线面平行的判定，证明BC∥平面PAD；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定证明BC⊥面EFG，即可证明EF⊥BC；
（Ⅲ）设PA的中点为N，连结DN，NC，证明∠CND是所求二面角的平面角，从而可求二面角C-PA-D的余弦值．
（Ⅱ）利用线面垂直的判定证明BC⊥面EFG，即可证明EF⊥BC；
（Ⅲ）设PA的中点为N，连结DN，NC，证明∠CND是所求二面角的平面角，从而可求二面角C-PA-D的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以BC∥AD．
因为AD?平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．
设BC的中点为G，连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC．
所以BC⊥EG，BC⊥FG．…（6分）
因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG．
因为EF?面EFG，所以EF⊥BC．…（8分）
（Ⅲ）解：设PA的中点为N，连结DN，NC，
因为PD=AD，N为中点，所以DN⊥PA．
又△PAC中，PC=AC，N为中点，所以NC⊥PA．
所以∠CND是所求二面角的平面角．…（10分）
依条件，有CD⊥PD，CD⊥AD，
因为PD∩AD=D，所以CD⊥面PAD．
因为DN?面PAD，所以CD⊥DN．
在Rt△CND中，DN=
，NC=
．
于是cos∠CND=
=
，即所求二面角的余弦值是
．…（13分）
因为AD?平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．
设BC的中点为G，连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC．
所以BC⊥EG，BC⊥FG．…（6分）
因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG．
因为EF?面EFG，所以EF⊥BC．…（8分）
（Ⅲ）解：设PA的中点为N，连结DN，NC，
因为PD=AD，N为中点，所以DN⊥PA．
又△PAC中，PC=AC，N为中点，所以NC⊥PA．
所以∠CND是所求二面角的平面角．…（10分）
依条件，有CD⊥PD，CD⊥AD，
因为PD∩AD=D，所以CD⊥面PAD．
因为DN?面PAD，所以CD⊥DN．
在Rt△CND中，DN=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
于是cos∠CND=
| ND |
| NC |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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