题目内容

已知f(x)=a2x-
1
2
x3,x∈(-2,2)为正常数.
(1)可以证明:定理“若a、b∈R*,则
a+b
2
ab
(当且仅当a=b时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函数f(x)的最大值大于1,求实数a的取值范围,并由此猜测y=f(x)的单调性(无需证明);
(3)对满足(2)的条件的一个常数a,设x=x1时,f(x)取得最大值.试构造一个定义在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函数g(x),使当x∈(-2,2)时,g(x)=f(x),当x∈D时,g(x)取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列.
(1)若a、b、c∈R+,则
a+b+c
3
3abc
(当且仅当a=b=c时取等号).
(2)f(x)=ax2-
1
2
x3=x(a2-
1
2
x2)>0
在(0,2)上恒成立,
即a2
1
2
x2
在(0,2)上恒成立,
1
2
x2
∈(0,2),∴a2≥2,即a≥
2

又∵[f(x)]2=x2(a2-
1
2
x2)(a2-
1
2
x2)≤[
x2+(a2-
1
2
x2)+(a2-
1
2
x2)
3
]
3
=(
2a2
3
)
3

∴x2=a2-
1
2
x2
,即x=
6
3
a时,
fmax=
2
6
9
a3>1?a3
2
6
9
=
3
6
4
=(
6
2
)
3
?a>
6
2

又∵x=
6
3
a∈(0,2),∴a∈(0,
6
)
.综上,得a∈[
2
6
)

易知,f(x)是奇函数,∵x=
6
3
a时,函数有最大值,∴x=-
6
3
a时,函数有最小值.
故猜测:x∈(-2,-
6
3
a]∪ [
6
3
a,2)
时,f(x)单调递减;x∈[-
6
3
a,
6
3
a]
时,f(x)单调递增.
(3)依题意,只需构造以4为周期的周期函数即可.
如对x∈(4k-2,4k+2),k∈N,x-4k∈(-2,2),此时g(x)=g(x-4k)=f(x-4k),
即g(x)=a2(x-4k)-
1
2
 (x- 4k)3
,x∈(4k-2,4k+2).k∈N.
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