Question

已知方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+6-2m=0（m∈R）．
（1）求该方程表示一条直线的条件；
（2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
（3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值；
（4）若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）当x，y的系数不同时为零时即可
（2）由2m²+m-1=0，再结合（1）可求得m的值，从而可求得这时的直线方程；
（3）利用

2m-6

m2-2m-3

=-3，再结合（1）可求得m的值；
（4）依题意，可求得直线l的斜率，从而可求得实数m的值．

解答：解：（1）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令m²-2m-3=0，解得m=-1，m=3；
令2m²+m-1=0，解得m=-1，m=

1

2

．
∴方程表示一条直线的条件是：m∈R，且m≠-1．
（2）由（1）易知，当m=

1

2

时，方程表示的直线的斜率不存在，
此时的方程为：x=

4

3

，它表示一条垂直于x轴的直线．
（3）依题意，有

2m-6

m2-2m-3

=-3，
∴3m²-4m-15=0，
∴m=3或m=-

5

3

，由（1）易知，所求m=-

5

3

；
（4）∵直线l的倾斜角是45°，
∴其斜率为1，
∴-

m2-2m-3

2m2+m-1

=1，解得m=

4

3

或m=-1（舍去）．
∴直线l的倾斜角是45°时，m=

4

3

．

点评：本题考查直线的方程，考查方程思想与运算能力，属于中档题．