题目内容
已知椭圆C的中心在原点，离心率等于| 1 |
| 2 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为
| 1 |
| 2 |
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线x2=8
y的焦点，离心率等于
．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=
x+t，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．
②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值
．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=
| 1 |
| 2 |
②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值
| 1 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）设C方程为
+
=1(a＞b＞0)，则b=2
．
由
=
，a2=c2+b2，得a=4
∴椭圆C的方程为
+
=1．…（4分）
（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=
x+t，
代入
+
=1，得x2+tx+t2-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12．
∴|x1-x2|=
=
=
．
由此可得：四边形APBQ的面积S=
×6×|x1-x2|=3
∴当t=0，Smax=12
．…（8分）
②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-3=k（x-2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0
∴x1+2=
…（10分）
同理直线PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2=
=
∴x1+x2=
，x1-x2=
…（12分）kAB=
=
=
=
所以AB的斜率为定值
．…（14分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
由
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=
| 1 |
| 2 |
代入
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12．
∴|x1-x2|=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| t2-4(t2-12) |
| 48-3t2 |
由此可得：四边形APBQ的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 48-3t2 |
∴当t=0，Smax=12
| 3 |
②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-3=k（x-2）
由
|
（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0
∴x1+2=
| 8(2k-3)k |
| 3+4k2 |
同理直线PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2=
| -8k(-2k-3) |
| 3+4k2 |
| 8k(2k+3) |
| 3+4k2 |
∴x1+x2=
| 16k2-12 |
| 3+4k2 |
| -48k |
| 3+4k2 |
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| k(x1-2)+3+k(x2-2)-3 |
| x1-x2 |
| k(x1+x2)-4k |
| x1-x2 |
| 1 |
| 2 |
所以AB的斜率为定值
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
。