Question

13．已知函数f（x）=x²-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解，要使不等式f（x）≥0恒成立，则只需求出函数在x∈[-1，+∞]时的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，
∴函数f（x）的对称轴是x=a，
①a≤-1时，f（x）_min=f（-1）=2a+3，
∴只需2a+3≥0即可，
∴-$\frac{3}{2}$≤a≤-1，
②a＞-1时，f（x）_min=f（a）=2-a²，
∴只需2-a²≥0即可，
∴-1＜a≤$\sqrt{2}$，
综上：-$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，要注意分别讨论对称轴和区间之间的关系确定函数的最小值．