Question

2009年5月11日，中国内地出现首例输入性甲型H1N1流感疑似病例．中国进入防控甲型H1N1流感的关键时期，到目前为止，中国在防控方面取得了令人满意的成绩．据统计：公众对我国防控甲型H1N1流感的满意率p，（不满意率为q，p+q=1），现随机从人群中抽出n个人调查对我国防控甲型H1N1流感的满意度，用随机变量x表示调查的这些人中的不满意的人数．
（1）当n=3，p=0.9，列出随机变量X的分布列，并求出随机变量x的数学期望E（X）．
（2）试证明：E（X）=nq．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这3次独立重复试验中实件发生的次数．根据公式得到分布列．
（2）任取一个发生n次的独立重复试验，因满足二项分布得到分布列，设出成功概率是p，不成功概率是q，根据一般求期望的方法，得到期望的表示式，根据二项式系数的性质得到结果．
解答：（1）解：由题意得：每次试验中，事件发生的概率是相同的，
各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，
随机变量是这3次独立重复试验中实件发生的次数．∴X的取值是0、1、2、3
∴X的分布列是

故E（X）=3×0.9=2.7．
（2）证明：任取一个发生n次的独立重复试验，因满足二项分布得到分布列

∴E（X）=1×C_n¹p^n-1q+2×C_n²p^n-2q²+…n×C_nⁿqⁿ
=nq（C_n-1p^n-1+C_n-1¹p^n-2q+…+C_n-1^n-1q^n-1）
=nq（p+q）^n-1
=nq
点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．