题目内容

已知 $数学公式$ 的展开式中第五项的系数与第三项的系数比是10：1．
（1）求：含 $数学公式$ 的项的系数；　（2）求：展开式中所有项系数的绝对值之和．

解： $\text{[math]}$ 的展开式的通项为 $\text{[math]}$ ，
∵第五项的系数为C_n⁴（-2）⁴，第三项的系数为C_n²（-2）²，
∴C_n⁴（-2）⁴=10C_n²（-2）²，化简得（n-2）（n-3）=30，解得：n=8，
∴展开式的通项为T_r+1= $\text{[math]}$
（1）令 $\text{[math]}$ ，解得：r=2，∴展开式中含 $\text{[math]}$ 的项的系数为：C₈²（-2）²=112
（2）∵ $\text{[math]}$ 的展开式中所有项系数的绝对值之和，即为 $\text{[math]}$ 的展开式中所有项的系数和．
∴在 $\text{[math]}$ 中令x=1得3⁸，故 $\text{[math]}$ 的展开式中所有项系数的绝对值之和为3⁸．
分析：由题意可得C_n⁴（-2）⁴=10C_n²（-2）²，可得n=8，从而可得展开式的通项为T_r+1= $\text{[math]}$
（1）令 $\text{[math]}$ ，可求r，代入展开式中可求含 $\text{[math]}$ 的项的系数
（2）可求 $\text{[math]}$ 的展开式中所有项的系数和．在 $\text{[math]}$ 中令x=1可求
点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解展开式的指定的项的系数，及利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和，注意本题（2）中的转化．