Question

(本题满分12分)若定义在上的函数同时满足下列三个条件：

①对任意实数均有成立；

②； ③当时，都有成立。

（1）求，的值；

（2）求证：为上的增函数

（3）求解关于的不等式.

 

Answer 1

【答案】

（1）=0， ；（2）证明：见解析；（3）.

【解析】本试题主要是考查了函数的单调性的证明，以及函数与不等式的求解，赋值法求解函数的值。

（1）令得=0，令，得

（2）则，则；利用已知关系式得到证明

（3）在第二问的基础上可知得到，转换不等式得到

，进而求解得到结论。

解：（1）令得=0，令，得

（2）证明：设则，则；，故,为R上的增函数

（3）由已知得原不等式转化为，结合为R上的增函数得：

，解得  .故原不等式的解集为.