题目内容
已知关于x的函数f(x)=
(a≠0)
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．
| ax-a | ex |
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．
分析：（Ⅰ）a=-1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；
（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．
（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．
解答：解：（Ⅰ）f′(x)=
=
，x∈R．
当a=-1时，f（x），f'（x）的情况如下表：
所以，当a=-1时，函数f（x）的极小值为-e-2．
（Ⅱ）F′(x)=f′(x)=
．
①当a＜0时，F（x），F'（x）的情况如下表：
因为F（1）=1＞0，
若使函数F（x）没有零点，需且仅需F(2)=
+1＞0，解得a＞-e2，
所以此时-e2＜a＜0；
②当a＞0时，F（x），F'（x）的情况如下表：
因为F（2）＞F（1）＞0，且F(1-
)=
＜
＜0，
所以此时函数F（x）总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|-e2＜a＜0}．
| -aex(x-2) |
| (ex)2 |
| -a(x-2) |
| ex |
当a=-1时，f（x），f'（x）的情况如下表：
| x | （-∞，2） | 2 | （2，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ |
（Ⅱ）F′(x)=f′(x)=
| -a(x-2) |
| ex |
①当a＜0时，F（x），F'（x）的情况如下表：
| x | （-∞，2） | 2 | （2，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ |
若使函数F（x）没有零点，需且仅需F(2)=
| a |
| e2 |
所以此时-e2＜a＜0；
②当a＞0时，F（x），F'（x）的情况如下表：
| x | （-∞，2） | 2 | （2，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
| 10 |
| a |
e1-
| ||
e1-
|
| e-10 | ||
e1-
|
所以此时函数F（x）总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|-e2＜a＜0}．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题．
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