Question

设MN是双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的弦，且MN与x轴垂直，A₁、A₂是双曲线的左、右顶点．
（Ⅰ）求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=x-1与轨迹C交于A、B两点，若轨迹C上的点P满足

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

（O为坐标原点，λ，μ∈R）
求证：λ2+μ2-

10

7

λμ为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用交轨法来求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A₁、A₂点的坐标，设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），求出直线MA₁和NA₂的方程，联立方程，方程组的解为直线MA₁和NA₂交点的坐标，再把M点坐标（x₀，y₀）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹C的方程．
（Ⅱ）联立直线y=x-1与轨迹C方程，解出A，B点横坐标之和与之积，因为P，A，B三点都在椭圆上，所以都满足椭圆方成，再根据

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

，得到三点坐标满足的关系式，把P点坐标用A，B坐标表示，代入椭圆方程，根据前面求出的x₁+x₂，x₁x₂的值，化简，即可得到λ2+μ2-

10

7

λμ的值，为定植．

解答：解：（Ⅰ）∵A₁、A₂是双曲线的左、右顶点，∴A₁（-2，0）A₂（2，0）
∵MN是双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀）
则直线MA₁和NA₂的方程分别为y=

y0

x0+2

（x+2），y=

-y0

x0-2

（x-2）
联立两方程，解x₀，y₀，得

x0= 4 x y0= 2y x

，∵M（x₀，y₀）在双曲线上，代入双曲线方程，得

x2

4

+

y2

3

=1，即直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）联立

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

得7x²-8x-8=0
由韦达定理得x1+x2=

8

7

，x1x2=

8

7

A，B，P三点在

x2

4

+

y2

3

=1上，
知3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
∵

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

，∴P点坐标为（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²，λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）
∴3（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²）+4（λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）=12
又3x1x2+4y1y2=7x1x2-4(x1+x2)+4=-

60

7

∴λ2+μ2-

10

7

λμ=1
∴λ2+μ2-

10

7

λμ为定值，且定制为1．

点评：本题主要考查了交轨法求轨迹方程，以及直线与圆锥曲线相交问题，注意韦达定理的应用．