Question

底面是菱形的直棱柱，对角线长是9cm和15cm，高是5cm．
（1）求它的底面边长；
（2）求相邻侧面所成的角．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的对角线的性质及勾股定理即可得出；
（2）利用直棱柱的性质和二面角的定义即可得出．

解答：解：（1）根据菱形对角线的性质可得：AC⊥BD，且相互平分．
在Rt△OAB中，由勾股定理可得边长AB=

( 9 2 )2+( 15 2 )2

=

3 34

2

cm．
（2）由直棱柱的性质可知：B₁B⊥底面ABCD，C₁C⊥底面ABCD，
∴B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，∴∠ABC是侧面ABB₁A₁与BCC₁B₁所成的二面角的平面角，
∵sin(

1

2

∠ABC)=

OA

AB

=

9 2

3 34 2

=

3 34

34

，
∴cos∠ABC=1-2(

3 34

34

)2=

8

17

，
∴∠ABC=arccos

8

17

．
同理∠BCD是侧面CDD₁C₁与BCC₁B₁所成的二面角的平面角，求得∠BCD=π-arccos

8

17

．

点评：熟练掌握菱形的对角线的性质、勾股定理、直棱柱的性质和二面角的定义是解题的关键．