Question

光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t-

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20000

t2）万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？

Answer 1

分析：（1）根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入-销售成本，建立函数关系即可；
（2）利用配方法，求得二次函数f（x）=-

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20000

x2+0.0475x-0.5在x=475时取得最大值，即获得的利润最大．

解答：解：（1）由题意可知，公司生产并销售x件产品的销售收入为（0.05x-

1

20000

x2）万元，
投入固定成本0.5万元，另需增加投入

x

100

×0.25万元．
∴f（x）=0.05x-

1

20000

x2-（0.5+

x

100

×0.25）=-

1

20000

x2+0.0475x-0.5，（0＜x≤500）；
（2）由f（x）=-

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20000

x2+0.0475x-0.5=-

1

20000

(x-475)2+10.78125．
∴当x=475时，f（x）_max=10.78125．
∴当年产量为475（件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元．

点评：本题考查了函数模型的性质与运用，考查了简单的建模思想方法，训练里利用配方法求二次函数的最值，是中档题．