题目内容

若2^x+3^x+6^x=7^x，则方程的解集为________．

{2}
分析：由2^x+3^x+6^x=7^x，知 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 是减函数， $\text{[math]}$ 是增函数，知最多只有一解．当x=2时，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，故x=2．
解答：∵2^x+3^x+6^x=7^x，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ 是减函数，
$\text{[math]}$ 是增函数，
∴最多只有一解．
当x≥3时，
∵左 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
右（1+ $\text{[math]}$ ）^x $\text{[math]}$ ，
∴x≥3无解．
当x=1时，2^x+3^x+6^x=11，7^x=7，不成立；
当x=2时，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，成立．
故x=2，
故答案为：2．
点评：本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用．