题目内容
已知椭圆


(1)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;
(2)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连接AP交椭圆C1于点M,连接PB并延长交椭圆C1于点N,若



【答案】分析:(1)由已知
,由此能够求出椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率.
(2)由A(-5,0),B(5,0),设M
,得M为AP的中点,P点坐标为(2x+5,2y),将M、P坐标代入C1、C2方程得
,解之得P(10,
,直线PB:
,由此能够求出
.
解答:
解:(1)由已知
∴椭圆的方程为
,双曲线的方程
.
又
,
∴双曲线的离心率
(5分)
(2)由(Ⅰ)A(-5,0),B(5,0),设M
得M为AP的中点,∴P点坐标为(2x+5,2y)
将M、P坐标代入C1、C2方程得
,
消去y得2x2+5x-25=0,
解之得
,
由此可得P(10,
,直线PB:
,
即
代入
,
∴
∴
,∴xN=xM,
故MN⊥x轴,所以
(12分)
点评:本题考查椭圆方程及双曲线离心率的求法,计算
的值.解题时要熟练掌握解决直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

(2)由A(-5,0),B(5,0),设M





解答:


∴椭圆的方程为


又

∴双曲线的离心率

(2)由(Ⅰ)A(-5,0),B(5,0),设M

得M为AP的中点,∴P点坐标为(2x+5,2y)
将M、P坐标代入C1、C2方程得

消去y得2x2+5x-25=0,
解之得

由此可得P(10,


即

代入

∴


故MN⊥x轴,所以

点评:本题考查椭圆方程及双曲线离心率的求法,计算


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