Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线
y²=的焦点．PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AB的斜率为1，求四边形APBQ面积的最大值；
（3）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

解 设椭圆C的方程为
∵椭圆的一个顶点恰好是抛物线y²=的焦点，
∴a=∵离心率等于，
∴，∴c=1∴b=1
∴椭圆C的方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=x+t，代入椭圆方程，
消元可得3x²+4tx+2t²﹣2=0由△＞0，解得﹣＜t＜
由韦达定理得x₁+x₂=﹣t，x₁x₂=．
∵PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，∴|PQ|=
∴四边形APBQ的面积S=××|x₁﹣x₂|=×
∴t=0时，S_max=；
（3）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣=k（x﹣1），
与椭圆方程联立，消元可得（1+2k²）x²+（2k﹣4k²）x+k²﹣2k﹣1=0
∴x₁+1=﹣同理x₂+1=﹣
∴x₁+x₂=，x₁﹣x₂=﹣
∴y₁﹣y₂=k（x₁+x₂）﹣2k=，x₁﹣x₂=﹣
∴
∴直线AB的斜率为定值．