题目内容

在△ABC中，三角A、B、C所对三边a、b、c，其中a、b是方程x²-2 $数学公式$ x+2=0的两根，且2cos （A+B）=-1．
（1）求c；
（2）求△ABC的面积．

解：（1）∵a、b是方程x²-2 $\text{[math]}$ x+2=0的两根，
∴a+b=2 $\text{[math]}$ 且ab=2
∵2cos （A+B）=-1，A+B+C=π
∴-cosC=- $\text{[math]}$ ，得cosC= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos $\text{[math]}$ =（a+b）²-3ab=（2 $\text{[math]}$ ）²-3×2=6
∴c= $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）知ab=2且C= $\text{[math]}$
∴由正弦定理，得S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ×2×sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据a、b是方程x²-2 $\text{[math]}$ x+2=0的两根，利用根与系数的关系得到a+b=2 $\text{[math]}$ 且ab=2．由2cos （A+B）=-1结合三角形内角和，得到C= $\text{[math]}$ ，再利用余弦定理，可得c²=（a+b）²-3ab=6，即可得到边c的长度；
（2）由（1）知ab=2且C= $\text{[math]}$ ，利用正弦定理关于三角形面积的公式，即可算出△ABC的面积．
点评：本题给出△ABC中，a、b是方程x²-2 $\text{[math]}$ x+2=0的两根且C= $\text{[math]}$ ，求边c的长度并求△ABC的面积，着重考查了韦达定理、利用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．