题目内容
(本小题满分12分)
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
解:
(1)
(2)万元时,收益最大,万元。
解析试题分析:(1)根据已知条件,,代入点的坐标求解得到解析式。
(2)在第一问的基础上,设投资债券类产品万元,则股票类投资为万元,
依题意得:利益函数,运用单调性分析最值。
解:
(1)设所以
即................................4分
(2)设投资债券类产品万元,则股票类投资为万元,
依题意得: ...............8分
令则
所以当,即万元时,收益最大,万元。...................12分
考点:本试题主要考查了函数模型的构建,考查导数知识的运用,单峰函数极值就是最值,属于中档题。
点评:解决该试题的关键是运用待定系数法求解函数的解析式,表示出利益函数的关系式,同时要注意定义域在实际中的限定,得到结论。
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