Question

已知关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0．
（Ⅰ）若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围．
（Ⅱ）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设f（x）=x²+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x²+2mx+2m+1与x轴的交点分别在
区间（-1，0）和（1，2）内，则 ，可得 ．
解得，
∴m 的取值范围为 ．
（Ⅱ）若抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，则有
，即 ，解得，
故m的取值范围为 ．
分析：（Ⅰ）把问题转化为抛物线f（x）=x²+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（-1，0）和（1，2）内，解不等式组 求出m的取值范．
（Ⅱ）若抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，则有，由此求得m的取值范围．
点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．