题目内容
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
| 1 | 2 | 3 | ﹣7 |
| ﹣2 | 1 | 0 | 1 |
表1
（Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
| a | a2﹣1 | ﹣a | ﹣a2 |
| 2﹣a | 1﹣a2 | a﹣2 | a2 |
表2
（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．
考点：
切变变换．
专题：
计算题；图表型．
分析：
解：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）
（II） 每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；
（III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只
是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于
，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．
解答：
解：（I）
法1：
| 1 | 2 | 3 | ﹣7 |
| ﹣2 | 1 | 0 | 1 |
改变第4列得：
| 1 | 2 | 3 | 7 |
| ﹣2 | 1 | 0 | ﹣1 |
改变第2行得：
| 1 | 2 | 3 | 7 |
| 2 | ﹣1 | 0 | 1 |
法2：
| 1 | 2 | 3 | ﹣7 |
| ﹣2 | 1 | 0 | 1 |
改变第2行得：
| 1 | 2 | 3 | 7 |
| 2 | ﹣1 | 0 | ﹣1 |
改变第4列得：
| 1 | 2 | 3 | 7 |
| 2 | ﹣1 | 0 | 1 |
法3：
| 1 | 2 | 3 | ﹣7 |
| ﹣2 | 1 | 0 | 1 |
改变第1列得：
| ﹣1 | 2 | 3 | 7 |
| 2 | 1 | 0 | ﹣1 |
改变第4列得：
| ﹣1 | 2 | 3 | 7 |
| 2 | 1 | 0 | ﹣1 |
（写出一种即可） …（3分）（II） 每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；
①如果操作第三列，则
| a | a2﹣1 | a | ﹣a2 |
| 2﹣a | 1﹣a2 | ﹣a+2 | a2 |
则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，
，解得a=1，a=2．…（6分）
②如果操作第一行
| ﹣a | ﹣a2+1 | a | a2 |
| 2﹣a | 1﹣a2 | a﹣2 | a2 |
则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2
解得a=1 …（9分）
综上a=1 …（10分）
（III） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，
从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，
但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，
显然，数表中mn个数之和必然小于等于
，
可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）
点评：
本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．
名师金手指领衔课时系列答案
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：
记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1） 对如下数表A，求K（A）的值；
|
1 |
1 |
-0.8 |
|
0.1 |
-0.3 |
-1 |
（2）设数表A∈S（2,3）形如
|
1 |
1 |
c |
|
a |
b |
-1 |
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。
【解析】（1）因为
，
所以
（2） 不妨设
.由题意得
.又因为
，所以
，
于是
，
，
所以
，当
，且
时，
取得最大值1。
（3）对于给定的正整数t，任给数表
如下，
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每一个数换成它的相反数，所得数表
，并且
，因此，不妨设
，
且
。
由
得定义知，
，
又因为
所以
所以，
对数表
：
|
1 |
1 |
… |
1 |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
-1 |
… |
-1 |
则
且
，
综上，对于所有的，的最大值为