题目内容

如图，已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p∈[1，4]的切线l，切点A在第二象限．
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为 $数学公式$ 的椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞c）恰好经过A点，设切线l交椭圆的另一点为B，若设切线l，直线OA，OB的斜率为k，k₁，k₂，①试用斜率k表示k₁+k₂②当k₁+k₂取得最大值时求此时椭圆的方程．

解：（1）设切点A（x₀，y₀），依题意则有y₀= $\text{[math]}$ ，
由切线l的斜率为k= $\text{[math]}$ ，得l的方程为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
又点D（0，-2）在l上，
∴ $\text{[math]}$ =2，即点A的纵坐标y₀=2；
（2）依题意可设直线AB方程为：y=kx-2=- $\text{[math]}$ ；
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
由（1）可得A（-2 $\text{[math]}$ ，2），将A代入 $\text{[math]}$ 可得b= $\text{[math]}$ ，故椭圆的方程可简化为 $\text{[math]}$ ；
联立直线AB与椭圆的方程，消去y得：（4k⁴+k²）x²-16k³x-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
①k₁+k₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2k-2× $\text{[math]}$ =2k+2k³；
②∵k= $\text{[math]}$ [1，4]），∴k∈[-2，-1]，
∵f（k）=2k+2k³在[-2，-1]上为单调递增函数，故当k=-1时，k₁+k₂取到最大值，此时P=4，
故椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设切点A的坐标，得切线的方程，根据点D（0，-2）在l上，从而可求切点A的纵坐标；
（2）先根据 $\text{[math]}$ 及A（-2 $\text{[math]}$ ，2），化简椭圆方程，设直线AB方程椭圆的方程，消去y，利用韦达定理可求斜率，利用函数的单调性，可求最值，从而可得椭圆的方程．
点评：本题主要考查抛物线的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系及利用函数的单调性求最值，属于中档题．