题目内容
如图,已知点D(0,-2),过点D作抛物线C1:x2=2py(p∈[1,4]的切线l,切点A在第二象限.
(1)求切点A的纵坐标;
(2)若离心率为
的椭圆
+
=1(a>b>c)恰好经过A点,设切线l交椭圆的另一点为B,若设切线l,直线OA,OB的斜率为k,k1,k2,①试用斜率k表示k1+k2②当k1+k2取得最大值时求此时椭圆的方程.
解:(1)设切点A(x0,y0),依题意则有y0=
,
由切线l的斜率为k=
,得l的方程为y=
x-
,
又点D(0,-2)在l上,
∴
=2,即点A的纵坐标y0=2;
(2)依题意可设直线AB方程为:y=kx-2=-
;
由
得
由(1)可得A(-2
,2),将A代入
可得b=
,故椭圆的方程可简化为
;
联立直线AB与椭圆的方程,消去y得:(4k4+k2)x2-16k3x-16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=
①k1+k2=
+
=2k-2×
=2k+2k3;
②∵k=
[1,4]),∴k∈[-2,-1],
∵f(k)=2k+2k3在[-2,-1]上为单调递增函数,故当k=-1时,k1+k2取到最大值,此时P=4,
故椭圆的方程为
.
分析:(1)设切点A的坐标,得切线的方程,根据点D(0,-2)在l上,从而可求切点A的纵坐标;
(2)先根据
及A(-2
,2),化简椭圆方程,设直线AB方程椭圆的方程,消去y,利用韦达定理可求斜率,利用函数的单调性,可求最值,从而可得椭圆的方程.
点评:本题主要考查抛物线的切线方程,考查直线与椭圆的位置关系及利用函数的单调性求最值,属于中档题.

由切线l的斜率为k=



又点D(0,-2)在l上,
∴

(2)依题意可设直线AB方程为:y=kx-2=-

由


由(1)可得A(-2




联立直线AB与椭圆的方程,消去y得:(4k4+k2)x2-16k3x-16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=


①k1+k2=



②∵k=

∵f(k)=2k+2k3在[-2,-1]上为单调递增函数,故当k=-1时,k1+k2取到最大值,此时P=4,
故椭圆的方程为

分析:(1)设切点A的坐标,得切线的方程,根据点D(0,-2)在l上,从而可求切点A的纵坐标;
(2)先根据


点评:本题主要考查抛物线的切线方程,考查直线与椭圆的位置关系及利用函数的单调性求最值,属于中档题.

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