Question

设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x²+

y2

4

=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为

1

2

的点P的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：先根据直线l与直线l′关于原点对称求出直线l′的方程，与椭圆方程联立求得交点A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再根据三角形的面积求出AB边上的高，设出P的坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l′的距离即为AB边上的高，得到关于a和b的方程，把P代入椭圆方程得到关于a与b的另一个关系式，两者联立利用根的判别式判断出a与b的值有几对即可得到交点有几个．

解答：解：直线l关于原点对称的直线l′为y=-2x+2，与椭圆联立得：

y=-2x+2 x2+ y2 4 =1

解得

x=0 y=2

或

x=1 y=0

则A（0，2），B（1，0），所以AB=

(0-1)2+(2-0)2

=

5

，
因为△PAB的面积为

1

2

，所以AB边上的高为

5

5

设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a²+

b2

4

=1；
P到直线y=-2x+2的距离d=

|2a+b-2|

22+1

=

5

5

即2a+b-2=1或2a+b-2=-1；
联立得：

2a+b-2=1 a2+ b2 4 =1

①或

2a+b-2=-1 a2+ b2 4 =1

②，
把①中的b消去得8a²-12a+5=0，因为△=144-160=-16＜0，所以方程无解；
由②消去b得：8a²-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根，所以满足题意的P的坐标有两个．
故选B

点评：考查学生会求直线与椭圆的交点坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．同时要求学生会利用根的判别式判断方程解的情况．