Question

经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t的函数，且销售量g（t）=80-2t（件），价格满足f(t)=20-

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|t-10|（元），
（1）试写出该商品日销售额y与时间t（0≤t≤20）的关系式；
（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）日销售额y=销售量g（t）×商品价格f（t），代入整理即可；
（2）由（1）知，去掉绝对值，得到分段函数y=

(40-t)(30+t)    (0≤t＜10) (40-t)(50-t)     (10≤t≤20)

；在每一段上求出函数y的取值范围，从而得函数y的最大值与最小值．

解答：解：（1）日销售量函数y=g（t）•f（t）=（80-2t）•（20-

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|t-10|）=（40-t）（40-|t-10|）
（2）y=

(40-t)(30+t)    (0≤t＜10) (40-t)(50-t)     (10≤t≤20)

当0≤t＜10时，y=-t²+10t+1200，且当t=5时，y_max=1225，∴y∈[1200，1225）；
当10≤t≤20时，y=t²-90t+2000，且当t=20时，y_min=600，∴y∈[600，1200]；
所以，该种商品的日销售额y的最大值为1225元，最小值为600元．

点评：本题考查了含有绝对值的函数的应用模型，在遇到含有绝对值的函数时，通常转化为分段函数来解答．