题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e= $数学公式$ ，P₁为椭圆上一点，满足 $数学公式$ • $数学公式$ =0， $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ ，斜率为k的直线l 过左焦点F₁且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段 $数学公式$ 所成的比为λ．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．

解：（1）设| $\text{[math]}$ |=r₁，| $\text{[math]}$ |=r₂， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
△P₁F₁F₂为直角三角形且∠P₁F₂F₁=90⁰，则r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，
由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ?r₁r₂cosF₁P₁F₂= $\text{[math]}$ ?r₂= $\text{[math]}$
由（2a- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ +4c²得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a²=4，b²=3∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1
（2）可求得|RH|=3+ $\text{[math]}$
在y=k（x+1）中，令x=0，得y=k，即得G（0，k），
由定比分点坐标公式?k²= $\text{[math]}$ （3λ²+8λ+4），
显然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上递增，
∴ $\text{[math]}$ ≤k²≤24，∴3 $\text{[math]}$ ≤|RH|≤3 $\text{[math]}$ 即为|RH|的取值范围．
分析：（1）先设| $\text{[math]}$ |=r₁，| $\text{[math]}$ |=r₂， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，利用△P₁F₁F₂为直角三角形，得出r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，利用向量的数量积公式即可得到r₂= $\text{[math]}$ ，从而得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a，b．最后写出椭圆C的方程；
（2）可求得|RH|关于k的表达式，在y=k（x+1）中，令x=0，得G（0，k），由定比分点坐标公式?k²= $\text{[math]}$ （3λ²+8λ+4），显然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上递增，从而求得|RH|的取值范围．
点评：本小题主要考查椭圆的方程、椭圆的简单性质、定比分点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．