Question

已知点A，B到平面α的距离分别为4cm和6cm，当线段AB与平面α相交时，线段AB的中点M到α平面的距离等于

1

．

Answer 1

分析：画出图形，利用相似三角形的性质、中点的性质、三角函数、线面垂直的判定与性质、点M到α平面的距离的定义即可得出．

解答：解：如图所示：BD⊥α，AC⊥α，C、D为垂足．
设线段AB与平面α相交于点O，点E为线段AB的中点，过点E作EF⊥DO，垂足为F点，则EF⊥平面α．
又∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴

OA

OB

=

AC

BD

=

4

6

=

2

3

．
∵OE+OA=BE=OB-OE，∴OE=

1

2

(OB-OA)=

1

2

(OB-

2

3

OB)=

1

6

OB．
在Rt△OBD中，sin∠BOD=

BD

OB

=

6

OB

．
在Rt△OBD中，EF=OEsin∠EOF=

OB

6

×

6

OB

=1．
∴线段AB的中点M到α平面的距离等于1．
故答案为1．

点评：熟练掌握相似三角形的性质、三角函数、线面垂直的判定与性质、点M到α平面的距离的定义事件他的关键．