题目内容
某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生，将其成绩（百分制）（均为整数）分成六段[40，50）[50，60）…[90，100）下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生随机抽取2名，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100）记1分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】分析：（Ⅰ）由直方图的性质，频率和为1建立方程，求分数在[70，80]内的频率x即可；
（Ⅱ）由加权平均公式求平均值即可；
（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人，并且ξ的可能取值是0，1，2．依次求出相应的概率，得出分布列，再由公式求期望．
解答：
解：（Ⅰ）设分数在[70，80]内的频率为x，
根据频率分布直方图，
则有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）平均分为：
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人．
并且ξ的可能取值是0，1，2．
则P（ξ=0）=
=
；P（ξ=1）=
=
；P（ξ=2）=
=
；．
所以ξ的分布列为
Eξ=0×
+1×
+2×
=
=1.2
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是题设中所给的条件求出分布列，再由公式求期望与方差，本题只要求求出期望值，此类题运算量大，解题时要注意运算严谨，避免运算出错导致解题失败．
（Ⅱ）由加权平均公式求平均值即可；
（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人，并且ξ的可能取值是0，1，2．依次求出相应的概率，得出分布列，再由公式求期望．
解答：
解：（Ⅰ）设分数在[70，80]内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）平均分为：
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人．
并且ξ的可能取值是0，1，2．
则P（ξ=0）=
=；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；．所以ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | |
| P |  |  |  |
+1×+2×==1.2点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是题设中所给的条件求出分布列，再由公式求期望与方差，本题只要求求出期望值，此类题运算量大，解题时要注意运算严谨，避免运算出错导致解题失败．
练习册系列答案
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