Question

对于集合A={x|x=m²-n²，m∈Z，n∈Z}，因为16=5²-3²，所以16∈A，研究下列问题：
（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
（2） 讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．

Answer 1

解：（1）∵1=1²-0²；3=2²-1²；5=3²-2²；4=2²-0²；
∴1，3，4，5∈A，且2，6∉A；（5分）
设2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m²-n²成立．（m-n）（m+n）=2
当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与2不是4倍数矛盾．
当m，n同分别为奇，偶数时，m-n，m+n均为奇数
（m-n）（m+n）为奇数，与2是偶数矛盾．∴2∉A同理6∉A（8分）
（2）4=2²-0²；8=3²-1²；12=4²-2²；
2，6，10，14，∉A，结论：是4的倍数的数属于A．（12分）
分析：（1）根据集合A的元素的性质证明1，3，4，5∈A，对于2和6用反证法进行证明，证明过程注意根据整数是奇（偶）进行分类说明；
（2）根据集合A的元素的性质，在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由这些数的特征进行归纳得出结论．
点评：本题考查了元素与集合的关系，只要根据集合元素满足的性质进行判断，利用归纳推理思想方法进行归纳出集合元素的性质的结论，考查了分析和解决问题的能力．