Question

设P：关于x的不等式：|x-4|+|x-3|＜a的解集是φ，Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R． 如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先解出两个命题为真时参数的取值范围，再由P和Q有且仅有一个正确，其等价于P真Q假或Q假P真，分别解出这两种情况下的参数的取值范围，再取它们的并集即可求得a的取值范围

解答：解：使P正确的a的取值范围是：a≤1…（4分）
Q正确?ax²-x+a＞0恒成立                             …（5分）
∵当a=0时，ax²-x+a＞0不能对一切实数恒成立，…（6分）
∴Q正确?

a＞0 △=1-4a2＜0

…（7分）?a＞

1

2

…（8分）
∴若P正确而Q不正确，则a≤

1

2

，
若Q正确而P不正确，则a＞1．                           …（10分）
∴所求a的取值范围是：a≤

1

2

或a＞1

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是理解“若两个命题仅有一个为真”，将其分为两种情况求解，再取它们的并集，此处是一个易错点，易因为逻辑关系不清，将求并集理解成求交集，做题时要理顺逻辑关系，本题是命题中的重要题型