题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（e^t+2）x²+e^tx+e^t-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有 $数学公式$ $数学公式$ ．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$
∴f（x）的增区间为 $\text{[math]}$ ，f（x）减区间为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
极大值为 $\text{[math]}$ ，极小值为 $\text{[math]}$ ．…4分
（Ⅱ）原不等式可化为 $\text{[math]}$ 由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，由恒成立的意义知道 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ …8分
（Ⅲ）设 $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ ．
∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当a、b、λ、μ是正实数时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
由g（x）的单调性有： $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．…12分
分析：（Ⅰ）对函数求导，利用导数可判断函数的单独区间，进而可求函数的极大值，极小值．
（Ⅱ）原不等式可化为 $\text{[math]}$ 由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ．则可得 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，由恒成立的意义知道 $\text{[math]}$ ，从而可求t．
（Ⅲ）设 $\text{[math]}$ ，对g（x）求导可判断g（x）在（0，+∞）上是减函数，而作差可证明 $\text{[math]}$ ．由g（x）的单调性可证．
点评：本题主要考查了函数的恒成立问题的转化的应用，解题的关键是熟练应用导数的知识判断函数的单调性、求解函数的极值及最值及综合应用函数知识求解问题的综合能力