题目内容

(1)求函数值域:y=
x2-1
x2+1
;   
(2)求函数y=2
-x2+2x+3
单调区间.
分析:(1)由y=
x2-1
x2+1
=1-
2
1+x2
,由1+x2≥1可得0<
2
1+x2
≤2
,从而可求
(2)由题意可得,要求函数的单调区间,只要求解函数令=
-x2+2x+3
,在[-1,3]上单调区间,再由复合函数的单调性可求
解答:解:(1)∵y=
x2-1
x2+1
=1-
2
1+x2

∵1+x2≥1
0<
2
1+x2
≤2

-1≤1-
2
1+x2
<1

故函数的值域为[-1,1)
(2)由题意可得,-x2+2x+3≥0
∴-1≤x≤3
令t=
-x2+2x+3
,则可得,t在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减
由于函数y=2t在R上单调递增,由复合函数的单调性可知,函数y=2
-x2+2x+3
单调递增区间[-1,1]
单调递减区间[1,3].
点评:本题主要考查了利用分离系数求解函数的值域,及由指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解,(2)中不要漏掉定义域的考虑
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