Question

设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx²+x的两个极值点,

(1)试确定常数a和b的值；

(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.

Answer 1

思路分析：（1）由x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx²+x的两个极值点，知道x=1与x=2是f′(x)=0的两根，列出方程即可求出a和b的值;

（2）分别判断函数在x=1,x=2两侧的单调性确定极值.

解：(1)∵f(x)=alnx+bx²+x,

∴f′(x)=+2bx+1.

由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,

∴a+2b+1=0且+4b+1=0,

解方程组得a=,b=.

∴f(x)=lnx-x²+x.

(2)f′(x)=x^-1-x+1.当x∈(0,1)时f′(x)＜0,当x∈(1,2)时,f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值ln2.