Question

如右图，已知ABCD为正方形，AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，AD=DF=2AE=2．
（1）求证：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求点A到平面BEF的距离；
（3）求平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小．

Answer 1

分析：对于（1），要证明平面BEF⊥平面BDF，只需在平面平面BEF内找一条直线垂直于平面平BDF即可，
而AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，故连接AC交BD于O，取BF的中点G，连EG，只证EG垂直于平面BDF，
而AO垂直于平面BDF，只证EG∥AO即可；
对于（2），由EG∥AO，AO∥平面BEF，O到平面BEF的距离就是A到平面BEF的距离，由面面垂直的性质定理，
只需过O向BF作垂线，利用相似三角形求出此垂线段的长度即可；
对于（3），由（1）、（2）知：平面ABD为平面BEF的射影，由射影定理容易求二面角的余弦值，从而可求．

解答：解：（1）连AC交BD于O，取BF的中点G，连EG
∵OG

∥ .

.

1

2

DF，AE

∥ .

.

1

2

DF∴OG

∥ .

.

AE
∴四边形AOGE是平行四边形∴AO

∥ .

.

EG
∵DF⊥平面ABCD
∴DF⊥AO又AO⊥BD
∴AO⊥平面BDF
∴EG⊥平面BDF
∵EG?平面BEF
∴平面BEF⊥平面BDF

（2）由（1）知AO∥EG
∴AO∥平面BEF
∴O到平面BEF的距离就是A到平面BEF的距离
过O作OH⊥BF于H
∵平面BEF⊥平面BDF∴OH⊥平面BEF
∵△BOH\～△BFD∴

OH

DF

=

OB

BF

∴OH=

6

3

即点A到平面BEF的距离为

6

3

．

（3）设平面BEF与平面BCD所成的角为θ
∵cosθ=

S△ABD

S△BEF

=

6

3

∴平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为：arccos

6

3

点评：本题考查面面垂直的判定，点到面的距离，以及二面角的求法，要注意将面面垂直转化为线面垂直，点到平面距离问题中的点的转化，二面角平面角求法中的射影定理的应用．